30/5 Teorema di Hall per i gruppi risolubili. Serie di composizione di un gruppo risolubile finito.
23/5 Argomento di Frattini. Gruppi nilpotenti: sottogruppo di Frattini e quoziente $G/\phi(G)$. Teorema di caratterizzazione (proddoto diretto dei $p$-Sylow, ogni sottogruppo normale è massimale, i normalizzanti crescono). Esempi. Definizione di gruppo risolubile.
18/5 Gruppi nilpotenti. Serie centrale ascendente e discendente. Esempi (gruppi abeliani, $S_n$, ecc...).
15/5 Esercitazione in classe.
9/5 Gruppi iniettivi e divisibili: esempi. Derivato di un gruppo: proprietà ed esempi. Commutatore di due sottogruppi : $\langle [H,K] \rangle$.
4/5 Determinazione della "struttura ciclica" di un gruppo di abeliano finitamente generato a partire dalla sua presentazione (finita). Esempi. Gruppi liberi. Proprietà universale di sollevamento di un omomorfismo di un $\Phi: A \rightarrow G/H$ a $G$ dove $A$ è libero abeliano, $G$ è abeliano e $H \leq G$ (proprietà di proiettività dei gruppi liberi).
2/5 Teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati. Sottogruppo di torsione e parte libera. Gruppi liberi. Ogni gruppo abeliano è quoziente di un gruppo libero. Definizione di presentazione di un gruppo.
27/4 Relazioni fra il sottogruppo di Frattini di un gruppo $G$ e l'esistenza di sottogruppi massimali. Gruppi abeliani finitamente generati: sistemi di generatori e loro legame con la rappresentazione di $G$ come somma diretta di gruppi ciclici.
20/4 Generatori di un gruppo. Gruppi finitamente generati con sottogruppi non finitamente generati. Sottogruppi di indice finito in gruppi f.g. e gruppi f.g. abeliani. Definizione di elemento NON GENERATORE, sottogruppo di Frattini $\Phi(G)$: prime proprietà.
18/4 Formula di Burnside sul numero delle orbite di un'azione di un gruppo finito. Caratteri. Corollari ed esempi.
13/4 Normalizzante di un sottogruppo in un $p$-gruppo. I gruppi semplici di ordine $60$. La classificazione dei gruppi di ordine $12$.
4/4 I gruppi di Sylow di un sottogruppo $H$ di $G$. Esempi ed applicazioni.
23/3 I tre teoremi di Sylow: esempi ed applicazioni.
21/3 Gli automorfismi di $S_n$ sono tutti interni per $n \neq 6$. I sottogruppi di $S_n$ di indice $n$. Il Teorema di Cayley e sue generalizzazioni.
19/3 Prodotto semidiretto di gruppi. I gruppi di ordine $pq$. Esempi: gruppi diedrali.
14/3 Semplicità del gruppo alterno $A_n$. Prodotto diretto di gruppi. I $p$-gruppi finiti tali che ogni elemento diverso da $1$ ha ordine $p$.
9/3 Il normalizzante ed il centralizzante di una permutazione di ordine $n$ in $S_n$. Il programma di Holder. Serie di composizione. Unicità della serie di composizione di un gruppo finito $G$ (teorema di Jordan-Holder). Gruppi di ordine $8$.
7/3 Il coniugio in $S_n$. Normalizzante e centralizzante di un sottogruppo. Relazione di coniugio per i sottogruppi e sue connessioni con l'indice del normalizzante. automorfismi di un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ e loro relazioni con gli automorfismi interni di $G$. Il più grande sottogruppo normale contenuto in un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$. I gruppi di ordine $2p$.
2/3 Numero massimo di gruppi di ordine non isomorfi. La relazione di coniugio fra gli elementi di un gruppo. Centro di un gruppo. Centralizzante di un elemento. Equazione delle classi. Il centro di un $p$-gruppo è non banale. I gruppi di ordine $p^2$ sono abeliani. L'inverso del Teorema di Lagrange nei $p$-gruppi. Il coniugio per le involuzioni. Teorema di Brauer sulla relazione fra la cardinalità dei centralizzanti delle involuzioni e la cardinalità di un gruppo finito.
29/2 Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Prodotti di sottogruppi normali e permutabilità degli elementi. Ciclicità dei gruppi con al più un sottogruppo di ordine fissato. Omomorfismi e automorfismi di gruppi: esempi e prime proprietà. Teoremi di omomorfismo.
24/2 Sottogruppi, classi laterali e cardinalità: teorema di Lagrange. I gruppi di ordine $4$ e $6$. Teorema di Cauchy. Il numero di generatori di un gruppo di cardinalità n è minore o uguale a $\log_2(n)$.
22/2 Definizione di gruppo. Prime proprietà. Sottogruppi. Intersezione ed unione di sottogruppi. Gruppi ciclici e sottogruppi di gruppi ciclici. Gruppi di permutazioni e gruppi diedrali: prime proprietà.
23/5 Argomento di Frattini. Gruppi nilpotenti: sottogruppo di Frattini e quoziente $G/\phi(G)$. Teorema di caratterizzazione (proddoto diretto dei $p$-Sylow, ogni sottogruppo normale è massimale, i normalizzanti crescono). Esempi. Definizione di gruppo risolubile.
18/5 Gruppi nilpotenti. Serie centrale ascendente e discendente. Esempi (gruppi abeliani, $S_n$, ecc...).
15/5 Esercitazione in classe.
9/5 Gruppi iniettivi e divisibili: esempi. Derivato di un gruppo: proprietà ed esempi. Commutatore di due sottogruppi : $\langle [H,K] \rangle$.
4/5 Determinazione della "struttura ciclica" di un gruppo di abeliano finitamente generato a partire dalla sua presentazione (finita). Esempi. Gruppi liberi. Proprietà universale di sollevamento di un omomorfismo di un $\Phi: A \rightarrow G/H$ a $G$ dove $A$ è libero abeliano, $G$ è abeliano e $H \leq G$ (proprietà di proiettività dei gruppi liberi).
2/5 Teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati. Sottogruppo di torsione e parte libera. Gruppi liberi. Ogni gruppo abeliano è quoziente di un gruppo libero. Definizione di presentazione di un gruppo.
27/4 Relazioni fra il sottogruppo di Frattini di un gruppo $G$ e l'esistenza di sottogruppi massimali. Gruppi abeliani finitamente generati: sistemi di generatori e loro legame con la rappresentazione di $G$ come somma diretta di gruppi ciclici.
20/4 Generatori di un gruppo. Gruppi finitamente generati con sottogruppi non finitamente generati. Sottogruppi di indice finito in gruppi f.g. e gruppi f.g. abeliani. Definizione di elemento NON GENERATORE, sottogruppo di Frattini $\Phi(G)$: prime proprietà.
18/4 Formula di Burnside sul numero delle orbite di un'azione di un gruppo finito. Caratteri. Corollari ed esempi.
13/4 Normalizzante di un sottogruppo in un $p$-gruppo. I gruppi semplici di ordine $60$. La classificazione dei gruppi di ordine $12$.
4/4 I gruppi di Sylow di un sottogruppo $H$ di $G$. Esempi ed applicazioni.
23/3 I tre teoremi di Sylow: esempi ed applicazioni.
21/3 Gli automorfismi di $S_n$ sono tutti interni per $n \neq 6$. I sottogruppi di $S_n$ di indice $n$. Il Teorema di Cayley e sue generalizzazioni.
19/3 Prodotto semidiretto di gruppi. I gruppi di ordine $pq$. Esempi: gruppi diedrali.
14/3 Semplicità del gruppo alterno $A_n$. Prodotto diretto di gruppi. I $p$-gruppi finiti tali che ogni elemento diverso da $1$ ha ordine $p$.
9/3 Il normalizzante ed il centralizzante di una permutazione di ordine $n$ in $S_n$. Il programma di Holder. Serie di composizione. Unicità della serie di composizione di un gruppo finito $G$ (teorema di Jordan-Holder). Gruppi di ordine $8$.
7/3 Il coniugio in $S_n$. Normalizzante e centralizzante di un sottogruppo. Relazione di coniugio per i sottogruppi e sue connessioni con l'indice del normalizzante. automorfismi di un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ e loro relazioni con gli automorfismi interni di $G$. Il più grande sottogruppo normale contenuto in un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$. I gruppi di ordine $2p$.
2/3 Numero massimo di gruppi di ordine non isomorfi. La relazione di coniugio fra gli elementi di un gruppo. Centro di un gruppo. Centralizzante di un elemento. Equazione delle classi. Il centro di un $p$-gruppo è non banale. I gruppi di ordine $p^2$ sono abeliani. L'inverso del Teorema di Lagrange nei $p$-gruppi. Il coniugio per le involuzioni. Teorema di Brauer sulla relazione fra la cardinalità dei centralizzanti delle involuzioni e la cardinalità di un gruppo finito.
29/2 Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Prodotti di sottogruppi normali e permutabilità degli elementi. Ciclicità dei gruppi con al più un sottogruppo di ordine fissato. Omomorfismi e automorfismi di gruppi: esempi e prime proprietà. Teoremi di omomorfismo.
24/2 Sottogruppi, classi laterali e cardinalità: teorema di Lagrange. I gruppi di ordine $4$ e $6$. Teorema di Cauchy. Il numero di generatori di un gruppo di cardinalità n è minore o uguale a $\log_2(n)$.
22/2 Definizione di gruppo. Prime proprietà. Sottogruppi. Intersezione ed unione di sottogruppi. Gruppi ciclici e sottogruppi di gruppi ciclici. Gruppi di permutazioni e gruppi diedrali: prime proprietà.